Формы представления элементов конечных полей

Радиотехника

Аннотация

Современные методы и устройства кодирования информации базируются на основных моделях высшей (абстрактной) алгебры, теории чисел и таких понятиях (систем), как группы, кольца, поля, сравнения, вычеты и т.п. Все эти понятия в общем случае распространяются на объекты различной природы и на отношения (связи) между ними. В дальнейшем рассматриваются только математические объекты: числа, векторы, многочлены и т.д. Таким образом, математические объекты и описывающие их операции в совокупности образуют математические модели различных физических процессов. Наибольший интерес представляют такие общеизвестные математические модели, как системы целых и действительных чисел, которые символизируют многие физические процессы, например, счет, измерение, сравнение, упорядочение. Конечные поля играют важную роль в системах кодирования, криптографии и цифровой обработки сигналов. Элементы конечных полей представляются в различных формах: степенной, векторной, полиномиальной и др. Наиболее распространенным является построение конечных полей с помощью модульной арифметики, которое, в свою очередь, базируется на известных операциях целочисленной арифметики. В конечных полях операции умножения (деления) являются более сложными, чем операции сложения (вычитания). Для упрощения выполнения операции умножения удобно преобразовать числа в полиномиальную форму. В работе рассмотрен наиболее полный спектр представления элементов в конечных полях. На многочисленных примерах показаны различные способы осуществления основных операций в конечных полях. Показана методика определения примитивных элементов конечных полей